Un espace vectoriel sur  \(K) est aussi appel un <span class="defn">   \(K)-espace vectoriel</span>, en abrg <span class="defn">   \(K)-ev</span>. Les lments de  \(E) sont appels <span class="defn">  vecteurs</span>.
 

Un  \(K)-espace vectoriel  \(E), muni de son addition, est un groupe commutatif, grce aux proprits 1.  4.
 
 
Nous notons  provisoirement les oprations d'un  \(K)-espace vectoriel par les symboles  \(\bigoplus) et  \(\bigodot), pour les diffrencier des oprations du corps des scalaires  \(K) et mieux comprendre les premiers exemples d'espaces vectoriels. Ensuite nous utiliserons les notations usuelles + pour l'addition et  \(\cdot) ou rien de tout pour la multiplication par un scalaire (ne pas oublier que l'on ne multiplie pas de vecteurs entre eux !).
 
<div class="exemple">
<span class="exemple">  Exemples fondamentaux</span>

<ul>
<li>  \(E=K^n) ( \(K=\RR) ou  \(K=\CC),  \(n\in \NN^*)) est un  \(K)-espace vectoriel.
 </li><li>
 \(E)= \(\CC^n) est un  \(\RR)-espace vectoriel. Plus gnralement, tout  \(\CC)-espace vectoriel est un  \(\RR)-espace vectoriel.
 </li><li>
\(E=K[X]) est un  \(K)-espace vectoriel.
 </li><li>L'ensemble  \(E=K^{\NN}) des suites infinies d'lments de  \(K) est un  \(K)-espace vectoriel.
 </li><li>
Soient  \(A)  et  \(E={\cal F}(A,K)) l'ensemble des applications de  \(A) dans  \(K). Alors  \(E) est un  \(K)-espace vectoriel. Cas particuliers :  \(A=\{1,2,\ldots, n\}), \NN, \RR ou  \(\CC).
</div>