\def{integer a0=random(1..3)}
\def{integer a1=random(-2..2)}
\def{integer a2=random(-2..2)}
\def{integer n0=random(0..2)}
\def{integer n1=\n0+ random(1..2)}
\def{integer n2=\n1+ random(1..2)}

\def{integer b0=random(1..3)}
\def{integer b1=random(-2..2)}
\def{integer b2=random(1,-1)*random(1..3)}
\def{integer b3=random(1,0)} 
\def{text P0= (\a2)*x^\n2+(\a1)*x^\n1+(\a0)*x^\n0}
\def{text Q0=(\b3)*x^3+(\b2)*x^2+(\b1)*x+(\b0)}

\def{text liste=pari((g(P0,Q)=local(n,q,E,P,EP,LE,listeP,s);
P=P0;
n=poldegree(P,x); 
q=poldegree(Q,x);
EP=0;
listeP=[P0];
listedegre=[n]; 
p=n;LE=[];
for(i=1, n,
	if(p>=q,
		E=pollead(P,x)/pollead(Q,x)*x^(p-q); 
		EP=E+EP;
		LE=concat(LE,[E]);
		P=P- E* Q;
		listeP=concat(listeP,[P]);
		p=poldegree(P,x); 
		listedegre= concat(listedegre, [p])
	,s=i;break)
	);
[s,LE,listeP,listedegre]);
R=g(\P0,\Q0);
[\P0
,
\Q0 ,
divrem(\P0, \Q0)[1] , 
divrem(\P0, \Q0)[2] ,
R[1] ,R[2] ,R[3] ,R[4],poldegree(\Q0,x)])}
\def{text P=htmlmath(item(1,\liste))}
\def{text Q=htmlmath( item(2,\liste))}
\def{text E=htmlmath(item(3,\liste))}
\def{text R= htmlmath(item(4,\liste))}
\def{integer s= item(5, \liste)}
\def{integer dQ= item(9, \liste)}
\def{text quotient= wims(declosing item(6,\liste))}
\def{text reste= wims(declosing item(7,\liste))}
\def{text degre= wims(declosing item(8,\liste))}
\def{text dR= item(\s,\degre)}
\def{text dP= item(1,\degre)}
\def{integer ss=\s-1}
Faisons la division euclidienne sur des exemples. 
N'hsitez pas   recommencer 
\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20">}. Et allez voir ensuite comment
 \link{posons}{poser la division euclidienne}. 
<p>
Prenons P(x)=\P, Q(x)=\Q alors : 
<p><center>
\P=<font color=red><b>(\E)</b></font>(\Q) +<font color=magenta><b>(\R)</b></font>
</center></p>
c'est--dire \(P=EQ +R)
avec E(x)=\E et R(x)=\R. Bien remarquer que le degr de R qui est  \dR est strictement infrieur  \dQ. 
\if{\s=1}{Comme le degr de P=\PP est strictement plus petit que celui de  Q, il n'y a rien  faire. }{ Effectuons la division : on crit  avec P=P<sub>0 </sub>: 
\for{i= 1 to \s -1}
{\def{text PP=item(\i+1,\reste)}
\def{text PPP=htmlmath(Q + item(\i+1,\reste))}
\def{text Z=<font color=red><b>htmlmath(item(\i,\quotient ))</b></font> \PPP}
\def{text dR= item(\i,\degre)}
\def{integer ii=\i-1}
<p> 
<center>
<p>
P<sub>\ii</sub>(x)=\Z  
</center>
<p></p>
Le degr de \(P_\i=\PP) est strictement plus petit que celui de \(P_\ii). 
\if{\i<\s-1}{Mais, il est plus grand que le degr de Q : }{
\def{text PPM  =htmlmath(\PP)}
Il est aussi strictement infrieur  celui de Q, on a donc fini ; le reste est  P<sub>\i</sub>=<font color=magenta> <b>\PPM  </b></font> ; le quotient est obtenu en ajoutant les monmes en rouge.
} }
}

En gnral, on pose la division euclidienne de la \link{posons}{manire suivante} 
