Soient  \(E) et  \(F) deux espaces de dimension finie. La prsence de bases
dans  \(E) et  \(F) va nous permettre d'associer  toute  
application linaire de  \(E) dans  \(F) une matrice.


 <div class="defn"><span class="definition"> Dfinition</span> Soient  
 \(E) et  \(F) deux espaces vectoriels de dimension finie  \(n) \in \(\NN^*) 
 et  \(p) \in \(\NN^*), respectivement. Soit 
 \(\f) une application linaire. Choisissons une base  
 \calB= \((u_1, u_2, ... , u_n)) de  \(E) et 
 une base \calB' =\((u'_1, u'_2, ... , u'_p)) de  \(F). 
 On appelle <span class="defn"> matrice </span> de  \(f) dans les bases 
 \(\cal B) et  \(\cal B') la matrice  \(A\in M_{p,n}(K)), note  
 \(M_{\cal B}^{\cal B'}(f )) (ou parfois  \(M(f, {\cal B},{\cal B'}))), 
 dont la \(j) -ime colonne est constitue par les coordonnes du vecteur  \(f(a_j)) 
 dans la base  \calB',  1 \leq \(j) \leq \(n). 
</div>
	Lorsque  \(E = F) et  \calB = \calB', on note  \(M_{\cal B}^{\cal B'}(f )=M_{\cal B}(f)). 
	La matrice  \(M_{\cal B}(f )) est une matrice carre d'ordre  \(n).
Si on a, pour  1 \leq \(j) \leq \(n) :
<p align="center"> \(f(u_j)=a_{1j}u'_1 + a_{2j} u'_2 +  \cdots + a_{pj} u'_p),</p> 
 c'est--dire, si  \(a_{1j}, a_{2j}, \ldots,  a_{pj}) sont les coordonnes du vecteur  
 \(f(u_j)) dans la base  \(\cal B'), alors :
<p align="center"> \(M_{\cal B}^{\cal B'}(f )= A = \pmatrix{
a_{11} & a_{12} & \ldots &  a_{1n}\cr
a_{21} & a_{22} & \ldots &  a_{2n}\cr
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \cr
a_{p1} & a_{p2} & \ldots &  a_{pn}\cr})</p>