<div class="thm"> <span class="thm"> Thorme </span> Soit \(p) un nombre premier impair. Alors pour tout entier  \(n), 

<center> \(n^p) \equiv  \(n) mod \(p). </center>
</div>


On en dduit le \embed{thfermat}{thorme de Fermat :}


<div class="thm"> <span class="thm"> Thorme </span> Soit \(p) un nombre premier impair.  Soit  \(n) un entier premier  \(p). Alors, 
<ul><li>
il existe un plus petit entier \(r > 0) tel que \(n^r)  \equiv  1 mod \(p) 
</li>cet entier est un diviseur de \(p - 1) ;
</li><li> les  entiers \(s) vrifiant \(n^s)  \equiv  1 mod \(p) sont exactement les multiples de \(r). 
</li></ul> 
</div>

<div class="dem"> Par le petit thorme de Fermat, l'ensemble des entiers \(r) strictement positifs vrifiant \(n^r) \equiv  1  mod \(p) est non vide car il contient \(p - 1). Il admet donc un plus petit lment. Notons-le \(r_0). Faisons la division euclidienne de \(p - 1) par \(r_0)
 : 
\(p - 1 = q * r_0 + s) avec \(s) entier positif \( < r_0). On a 
<center> \(n^(p - 1))  \equiv  \((n^(r_0))^q*n^s ) mod \(p) </center>
d'o <center> 1 \equiv \( n^s ) mod \(p) </center>
Donc, par minimalit de \(r_0), \(s)  est soit plus grand que \(r_0), soit nul. Donc \(s) est nul,  et \(r_0) divise \(p - 1).

</div>