La mthode de Gauss permet d'obtenir un systme linaire chelonn 
(donc qu'on sait rsoudre) quivalent  un systme donn.

    <h2> Dfinitions</h2> 
    
    <div id="def">Deux systmes linaires sont 
<b> quivalents </b> s'ils ont le mme ensemble de solutions.</div>


Dans toute la suite, \( (S) ) est un systme linaire de \( p ) quations, 
\( n ) inconnues,  coefficients dans \( K ).

<div id="def"> On appelle <b>  tableau complet </b> du 
systme linaire \( (S) )  le tableau de nombres suivant : 
<center> \( 

\begin{array}{ccc|c}
	a_{1,1} & \ldots & a_{1,n}  & b_1\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
a_{p,1} & \ldots & a_{p,n} &  b_n\\
\end{array} \)</center></div>

( la gauche de la barre il y a les coefficients de la 
matrice du systme,  la droite  la matrice colonne du second 
membre)

<div id="def"> On appelle <b>  opration 
lmentaire </b> sur \( (S) ) 
(ou sur les lignes de son tableau complet) une des oprations 
suivantes :

<ul>
	<li>  Permuter deux lignes.</li>

	<li>  Multiplier une ligne par un scalaire <b>  non nul </b>.</li>

	<li>  Ajouter  une ligne une combinaison linaire des autres 
lignes, c'est--dire une somme de multiples scalaires des autres 
lignes.</li>
</ul></div>

<h2> Proposition </h2> 
<div id="thm">
<li>Toute opration lmentaire 
sur  un systme linaire \( (S) ) le transforme en un systme linaire 
quivalent.</li>

<li>Il existe une suite finie 
d'oprations lmentaires qui transforme le systme linaire \( (S) )  
en un systme chelonn.</li>
</ul>
</div>
<p>
 La mthode <b> du pivot de Gauss </b> de rsolution d'un systme 
linaire \( (S) ) consiste  :
<ul>
	<li>  crire le tableau complet du systme ;</li>
<li>  effectuer sur ce tableau des  oprations lmentaires dans 
un ordre bien dtermin de faon 
 transformer la matrice \( A ) du systme en une matrice chelonne 
\( A' ) ;</li>
	<li>   rsoudre le systme chelonn \( (S') ) correspondant, 
quivalent  \( (S) ) : 
	l'ensemble des solutions de \( (S') ) est l'ensemble des solutions de 
\( (S) ).</li>
</ul>

<h2> Remarques </h2> 
<ul>
     <li>  Pour allger l'criture, on effectue les oprations 
     lmentaires sur le tableau des coefficients. Il faut garder  
     l'esprit que ces tableaux reprsentent des systmes quivalents.
     </li>
        <li>  
Il y a en gnral plusieurs choix 
d'oprations lmentaires qui permettent de transformer un 
systme linaire en systme chelonn quivalent. Ces 
diffrents choix peuvent conduire  crire la solution 
gnrale du systme sous des formes diffrentes (inconnues 
principales ou  solutions particulires diffrentes). Pour 
faciliter la comparaison des solutions et la vrification, il est 
conseill d'crire les solutions comme somme d'une solution 
particulire de \( (S') ) et d'une combinaison linaire de solutions 
particulires de \( (S'_0) ) (les coefficients tant les inconnues 
secondaires). Ainsi pour vrifier le rsultat, il suffit d'injecter 
la particulire de \( (S') ) et celles de \( (S'_0) ) dans les systmes 
\( (S) ) et \( (S_0) ).</li>
<li>
Notre description de la mthode de Gauss suppose que le systme est connue de faon exacte. C'est rarement le cas dans les applications pratiques o seules des quantits approches sont disponibles, par exemple fournies par des mesures physiques. Que signifie une solution exacte d'un systme approch ?
  Il n'est en rien vident (c'est en gnral faux) que ce soit une solution approche du systme exact.</li>
</ul>

<h2> Exercices </h2>

 \fold{exgauss}{<b> Exemple :</b>} 
<p>

\exercise{cmd=new&module=U1/algebra/visgauss.fr&type=system&size=3&field=Q&click=no}{Mise en oeuvre de la mthode 
de Gauss :}
    Les exercices de "Gauss visuel"  proposent de rsoudre des 
    systmes linaires par la mthode de Gauss. L'tudiant choisit les 
    oprations lmentaires  effectuer et la machine les fait pour 
    lui.

  \exercise{cmd=new&module=U1/algebra/parmsys.fr&level=2&size=3&range=5&qtype=1&gauss=2} {Analyse des solutions d'un 
systme linaire  paramtre :}  Il s'agit de rpondre  des questions 
sur l'ensemble des solutions d'un systme aprs l'avoir chelonn.