<div class="thm"><span class="thm">Thorme</span> Dans le plan, l'aire du  du paralllogramme form  partir des 
vecteurs \( v_1 ) et \( v_2 ) est gale  la valeur absolue du dterminant 
de \( v_1 ) et \( v_2 )
</div>
<div class="dem">\fold{aire2}{<span class="dem">Dmonstration
</span> }
</div>

<div class="thm"><span class="thm">Thorme</span> :
L'aire du paralllogramme form  partir des 
vecteurs \( v_1 ) et \( v_2 ) est gale  la norme du produit 
vectoriel de 
\( v_1 ) et de \( v_2 ). 
</div>
\def{real a = random(0.6,0.8,1.2,1.5,2)}
\def{real b = random(0.6,0.8,1.2,1.5,2)}
\def{integer angle = randint(1..18)*10}
\def{real range1  =  min(\b/5,\a/5)}
\def{real range2  =  max(\range1,max(1.2,6*(\a+1)/5))}
\def{real range3  =  max(max(1.2,6*(1+\b)/5),\range2)}
\def{real xrange1 =-\range3}
\def{real xrange2 = \range3}
\def{text T = line  \xrange1,0,\range2,0,black
linewidth 2
lines blue, 0,0,1,0,\a+1,\b,\a,\b,0,0
text black,0.8,0, medium,v1
text black,\a*0.45,\b*0.8, medium,v2
line \a,\b,\a,0,black
line 0,0,0,-1,black
linewidth 2
line \a,\b,\a,0,green
}

<div class="dem"><span class="dem">Dmonstration
</span> : 
<table><tr><td>
\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20">}
\draw{200,200}{
xrange \xrange1,\xrange2
yrange \xrange1,\xrange2
rotate \angle
text black,0,0,medium,0
\T
}</td><td>Plaons-nous dans le plan contenant les deux vecteurs \( v_1 ) et \( v_2 ). 
L'aire \( A )  calculer est gale au produit de la longueur 
du vecteur \( v_1 )  
et de la longueur \( h ) de la hauteur
correspondante. Le vecteur \( w ) associ  cette hauteur 
est la projection de \( v_2 ) sur la droite perpendiculaire  \( v_1 ).
Si \( w_1 = (-b,a) ) est le vecteur normal  \( v_1 = (a,b) ) de mme norme, on a donc

<p align="center">\(h =  ||w|| =  | v_2 \cdot w_1| = | \det(v_1,v_2)|)</p>
</td></tr></table>
</div>


<div class="thm"><span class="thm">Thorme</span> :
Le volume du paralllpipde  form  partir des 
vecteurs \( v_1 ), \( v_2 ) et \( v_3 ) de \( \RR^3 )  
est gal  la valeur absolue du dterminant de
\( v_1 ) et de \( v_2 ) et \( v_3 ) calcule dans une base orthonorme. 
</div>

<div class="dem"><span class="dem">Dmonstration</span> :
Le volume \( V ) est gal au produit de l'aire \(A ) du paralllogramme form 
par les vecteurs \( v_1 ) et \( v_2 ) et de la longueur \( H ) de la hauteur du paralllpipde
correspondante. Cette hauteur est par dfinition perpendiculaire au plan engendr par les vecteurs 
\( v_1 ) et \( v_2 ). Si \( w ) est le vecteur reprsentant cette hauteur, il est donc 
colinaire  \( v_1 \wedge w_2 ) 
et c'est la projection du vecteur \( v_3 ) sur la droite engendre par \( v_1\wedge v_2 ). 
Ainsi, on a 

<p align="center">\(  H =  |v_3\cdot \frac{ v_1\wedge v_2}{|| v_1\wedge v_2||}|)</p>


<p align="center">\( A =  \(|| v_1\wedge v_2||)</p>


<p align="center">\(V = AH =  |v_3\cdot ( v_1\wedge v_2)| =  |\det( v_1,v_2,v_3)|)</p>

</div>