Soit un systme linaire \( AX = B )
 \( n ) inconnues et \( n ) quations. La matrice \( A ) est donc
une matrice carre d'ordre \(n). 

<div class="defn"><span class="defn">Dfinition</span> :
Si \( \det A  ) est non nul, le systme est appel systme de Cramer. 
</div>

<div class="thm"><span class="thm">Thorme</span> :
Un systme de Cramer  \(AX = B ) 
admet une solution unique donne par les formules
<p align="center">\( x_i = \frac{\det B_j}{\det A})</p>
avec 
\( B_j ) la matrice obtenue  partie de \( A ) en remplaant la \( j )-ime colonne 
par la colonne \( B ). 
</div>

<div class="dem"><span class="dem">Dmonstration</span> : 
Le systme linaire peut s'crire en introduisant les colonnes
de \( A ) : 
<p align="center">\(\sum_{j=1} ^n  x_j A_j = B)</p>
et on peut utiliser alors la formule 
<p align="center">\(\det(A_1, .... , B, .... A_n ) = x_j \det(A_i, .... , A_j, .... A_n ) )</p> 
</div>

<div class="exemple"><span class="exemple">Exemple</span> : 
Si \(ad - bc) \neq 0, le systme
 <p align="center"> \(\left \lbrace \begin{matrix} a x + b y &=& u\\
 c x + d y &=& v\end{matrix} )</p>
 a une unique solution donne par 
 
<p align="center">  \(x)  = \(\frac{\left \lvert \begin{matrix} u&b\\
 v&d\\\end{matrix} \right \rvert}{\left \lvert \begin{matrix} a&b\\
 c&d\\\end{matrix} \right \rvert}) &nbsp;&nbsp;&nbsp;
  \(y)  = \(\frac{\left \lvert \begin{matrix} a&u\\
 c&v\\\end{matrix} \right \rvert}{\left \lvert \begin{matrix} a&b\\
 c&d\\\end{matrix} \right \rvert})
  </p>
</div>

On utilise aussi les dterminants dans le cas de systmes linaires qui ne sont 
pas de Cramer.