<div class="dem">   
Montrons ce rsultat par rcurrence sur \( n \), la dimension de \( E \). 
La proprit est triviale pour \( n=1 \). Supposons-la vraie pour tout 
\( \mathbb R \)-espace vectoriel de dimension \( n \) et soient \( E \) un \( \mathbb R \)-espace 
vectoriel de dimension finie \( n+1 \) et \( b \) une forme bilinaire symtrique sur \( E\times E \).

Si \( b = 0 \), alors toute base de \( E \) est orthogonale pour \( b \) et 
\( E \) admet au moins une base. Supposons donc \( b\neq 0 \).
Si tout vecteur de \( E \) est isotrope, alors \( b \) est nulle. 


Donc, il existe \( e_1 \in E \) tel que \( q( e_1 ) \neq 0 \). 
Considrons \( F = \{e_1\}^\bot \) et la restriction \( b' \) de \( b \)  \( F\times F \). 
<h2 class="thm">Lemme</h2><div class="thm">
Soit \( e_1 \) un vecteur tel que \( q( e_1 ) \neq 0 \), alors 
les sous-espaces vectoriels \( \mathbb R e_1 \) et \( F=\{e_1\}^\bot \) sont supplmentaires 
dans \( E \).
</div>



<proof>[Dmonstration du lemme]
Soit \( x \in E \). 
Pour tout \( \left(\alpha,y\right) \) de 
\( \mathbb R \times E \), on a 
<div class="math">\( \left\{\matrix{x=\alpha e_1+y \hfill\cr y \in F \hfill\cr}\right .\Leftrightarrow 
\left\{\matrix{x=\alpha e_1+y \hfill\cr b(e_1,y)=0 \hfill\cr}\right .\)</div>
<div class="math">\(\Leftrightarrow \left\{\matrix{x=\alpha e_1+y \hfill\cr b(e_1,x)=\alpha q(e_1) 
\hfill\cr}\right .\Leftrightarrow \left\{\matrix{\alpha={b(e_1,x)\over q(e_1)}
\hfill\cr y=x- {b(e_1,x)\over q(e_1)}e_1 \hfill\cr}\right  .\)</div>
Ceci montre que tout lment \( x \) de \( E \) se dcompose d'une 
faon unique sur \( \mathbb R e_1 \) et \( F \), donc \( \mathbb R e_1 \) et \( F \) sont supplmentaires dans \( E \).
En particulier, \( \dim F= n \).
</div> <div class="fin"> Fin de la dmonstration</div>
Revenons  la dmonstration de la proposition.
 D'aprs l'hypothse de rcurrence, il existe une base \( (e_2,\cdots, e_{n+1}) \) de 
 \( F \) qui est orthogonale pour \( b' \). Notons \( {\cal B}=(e_1,\cdots, e_{n+1}) \), on a :

<ul><li>  \( {\cal B} \) est une base de \( E \) car \( \mathbb R e_1 \) et \( F \) sont supplmentaires.
 </li><li>  \( \forall \quad 2\leq j \leq n+1 \),\( b(e_1,e_j)=0 \) car \( e_j \in F=\{e_1\}^\bot. \)
 </li><li>  \( \forall\quad 2\leq i,j\leq n+1 \), \( (i\neq j \Longrightarrow (b(e_i,e_j) = 0 ). \)
 </li></ul>
Ainsi, \( {\cal B} \) est une base de \( E \) orthogonale pour \( b \).
 
 </proof>