<div class="dem">   
 Soit \( S \) une matrice symtrique relle et notons \( b \) la forme bilinaire symtrique  dont la matrice relativement  la base canonique de \( \mathbb R^{n} \) est \( S \). D'aprs la proposition prcdente, il existe une base orthogonale par rapport  \( b \), 
 ainsi la matrice de \( b \) dans cette base est diagonale. D'aprs le thorme de changement de bases pour les formes bilinaires symtriques, en notant \( P \) la matrice de passage de la base canonique  la base \( {\cal B} \), on a \( D=^{t}\!PSP \).
 </div> <div class="fin"> Fin de la dmonstration</div>