<div class="enum_item">Il existe \( (u_1,\cdots ,u_n) \) une base de \( E \) orthogonale par rapport  \( q \). 
Quitte  rordonner ces vecteurs, on peut supposer qu'il existe 
\( r,s\in\mathbb N \) tels que \( 0\leq r\leq n \), \( 0\leq s\leq n \) et \( r + s\leq n \) vrifiant
<p class="math">\(\begin{matrix} 
q(u_i)>0 &\mbox{ pour } 1\leq i\leq r& (r \mbox{ peut tre nul} )\\
q(u_i)<0 &\mbox{ pour } r+1\leq i\leq r+s& (s \mbox{ peut tre nul })\\
q(u_i)=0 &\mbox{ pour }  i > r+s& (r+s \mbox{ peut tre gal  } n)\\
\end{matrix} \)</p>

Posons 
<p class="math">\(\begin{matrix} 
v_i={u_i\over\sqrt{q(u_i)}} &\mbox{ pour } 1\leq i\leq r,\\
v_i={u_i\over\sqrt{-q(u_i)}}  &\mbox{ pour }  r+1\leq i\leq r+s\\ 
v_i=u_i  &\mbox{ pour }  i>r+s.\\
\end{matrix} \)</p>

\( B=(v_1,\cdots ,v_n) \) est une base de \( E \) orthogonale par rapport  \( q \) et on a
<div class="math">\(M = Mat(q,{\cal B})=
\left(\begin{matrix} 
I_r & 0    & 0\\
0   & -I_s & 0\\
0   & 0    & 0
\end{matrix} \right)\)</div>

Comme \(  {\rm rg\, } q = rg M \) alors \(  {\rm rg\, } q = r+s \).




</div>

