<div id="thm">
 <b>Proposition :</b> Soit \( \vec f ) une 
isomtrie vectorielle admettant une unique
valeur propre relle \lambda, soit \( \vec D ) la droite propre 
associe  \lambda et   \( \vec P ) le plan
orthogonal  \( \vec D ).
<ol><li>
La restriction de \( \vec f )  \( \vec P ) est une rotation de \(\vec P ).
</li><li>
Si on a \lambda = 1 (resp. \lambda = -1) l'isomtrie \( \vec f ) est 
positive (resp. ngative). </li><li>

 Si \( \vec e_1 ) est un vecteur unitaire de \( \vec D ), il existe un 
unique  rel   \( \theta ) modulo 2\pi tel que la matrice de \( \vec f ) dans toute base orthonorme 
directe de premier vecteur \( \vec e_1 )
soit
<center>
\(A=\begin{pmatrix}     \lambda&0&0 \\
0& \cos \theta &-\sin \theta \\
0& \sin \theta & \cos \theta \\
\end{pmatrix})
</center>
</ol></div>

<i> Dmonstration :</i>  Comme \( \vec f\vert_{\vec P} ) n'a pas de valeur propre relle, 
la classification des
isomtries planes montre que c'est une rotation. Cela prouve les 
points 1 et 2. 

<p> On considre
l'orientation de
\( \vec P ) dfinie par \( \vec e_1 ). Si \( \mathcal{B}= (\vec e_1, \vec e_2, \vec 
e_3) ) est  une base directe de \( \vec
E ),
\( (\vec e_2,\vec e_3) ) est alors une base directe de
\( \vec P ) et si \theta  est l'angle de la rotation
\( \vec f\vert_{\vec P} ) dans \( \vec P ) muni de cette \link{orientation}{orientation}, on
a bien la matrice annonce dans \calB. 