Toutes les isomtries vectorielles 
admettent une matrice de la forme
<center>
\(\begin{pmatrix}     \lambda&0&0 \\
0& \cos \theta &-\sin \theta \\
0& \sin \theta & \cos \theta \\
\end{pmatrix})
</center>dans une base orthonorme bien choisie \( (\vec e_1,\vec 
e_2,\vec e_3) ).
<p>
En effet, on retrouve 

<ul><li>l'identit avec &nbsp;
\lambda \(= 1)&nbsp; et &nbsp;  \theta \(= 0),</li><li>
 les rflexions avec &nbsp;
 \lambda \(= -1 )&nbsp; et&nbsp;  \theta \(= 0 ),
</li><li>
 les demi-tours avec&nbsp;  \lambda \(= 1 )&nbsp; et&nbsp;  \theta = \pi
</li><li> la symtrie centrale avec&nbsp;
 \lambda \(= -1) &nbsp; et &nbsp; \theta = \pi </li></ul>

et bien sr 
<ul><li>les rotations avec&nbsp; \lambda = 1 &nbsp; et&nbsp; \theta \(\neq 0) (mod 2\pi) .
</li><li>  les antirotations avec &nbsp;\lambda = -1  &nbsp;et&nbsp;  \theta \(\neq 0), \pi (mod 2\pi).
</li></ul>

On notera que, sauf dans le cas des 
symtries orthogonales, la droite engendre par
\( (\vec e_1) ) est bien dtermine : c'est la droite propre 
relative   \lambda .
<p>
<b>Remarques : </b> 
<ol><li>La matrice d'une symtrie orthogonale est symtrique dans toute base orthonorme.
\fold{}{Pourquoi ?}{<div id="ccc">En effet, si \(A) est la matrice d'une symtrie orthogonale dans une base orthonorme, elle vrifie \(A^{-1} = A) et comme elle est orthogonale, elle vrifie aussi \(A^{-1} = {\ }^t\!A), dans \(A) est symtrique.</div>}</li>
<li>Dans la pratique, il n'est pas ncessaire de trouver la base  o la matrice de \(\vec f) est de cette forme pour dterminer sa nature  \link{trace}{(Voir la suite)}.</li></ol>