<p>Soit \(f) une isom&eacute;trie affine dont l'application lin&eacute;aire associ&eacute;e
   est \(\vec f). On note \(A) la matrice de \(\vec f) dans une base orthonorm&eacute;e
    directe donn&eacute;e de l'espace orient&eacute;. (Dans la pratique, il n'est
    pas n&eacute;cessaire de calculer les valeurs propres de \(A) pour conna&icirc;tre la
    nature de \(\vec f).\link{trace}{Pourquoi ?}) </p>
<p>&nbsp; </p>
<table width="100%" border="1" cellpadding="1" cellspacing="0" bordercolor="#000000">
  
  <tr bordercolor="#000000"> 
    <td width="10%">&nbsp;</td>
    <td colspan="3"><div align="center">ISOMETRIES POSITIVES</div></td>
    <td colspan="3"><div align="center">ISOMETRIES NEGATIVES</div></td>
  </tr>
  <tr bordercolor="#000000"> 
    <td width="10%" rowspan="4">\(\vec f)</td>
    <td colspan="2" bgcolor="#66FFFF">1 est valeur propre simple.<br>
      \(\vec D= {\rm Ker}(\vec f - {\rm Id}))<br>
      Le choix d'un vecteur directeur \(\vec e) de \(\vec D) \link{orientation}{oriente le plan} \( 
      \vec P= \vec D^{\perp}).<br>
      \(\vec D) et \( \vec P) sont \link{stables}{stables} par \(\vec f).</td>
    <td width="10%" bgcolor="#66FF33">1 est valeur propre triple</td>
    <td width="15%" bordercolor="#000000" bgcolor="#FFCC66">1 est valeur propre 
      double.</td>
    <td colspan="2" bgcolor="#FFCCCC">1 n'est pas valeur propre.</td>
  </tr>
  <tr> 
    <td width="20%" bgcolor="#66FFCC">\(\vec f) a une valeur propre r&eacute;elle.<br>
      \(A) n'est pas sym&eacute;trique</td>
    <td width="15%" bgcolor="#66FF99">\(\vec f) a \link{symetries}{3 valeurs
      propres r&eacute;elles} 
      : 1,-1,-1<br>
    \(A) est sym&eacute;trique</td>
    <td width="10%" rowspan="3" bgcolor="#66FF33">\(\vec f={\rm Id_{\vec E}})</td>
    <td rowspan="2" bordercolor="#000000" bgcolor="#FFCC66">\(\vec P= {\rm Ker}(\vec 
      f - {\rm Id}))<br> <br>
      \(\vec f) a \link{symetries}{3 val. propres r&eacute;elles} : 1,1,-1<br>
      <br>
      \(A) est sym&eacute;trique<br> <br>
    </td>
    <td width="10%" rowspan="2" bgcolor="#FF9999">-1 est valeur propre triple</td>
    <td width="20%" rowspan="2" bgcolor="#FF99FF">
<p>-1 est valeur propre simple.</p>
      <p>\(\vec D= {\rm Ker}(\vec f + {\rm Id}))<br>
        Le choix d'un vecteur directeur \(\vec e) de \(\vec D) \link{orientation}{oriente le plan} 
        \( \vec P= \vec D^{\perp}).<br>
        \(\vec D) et \( \vec P) sont \link{stables}{stables} par \(\vec f)</p>
      <p>\(\vec f_{/ \vec P}) est une rotation d'angle \(\theta) distinct de \(0) 
        et \(\pi)</p></td>
  </tr>
  <tr> 
    <td width="20%" bgcolor="#66FFCC">\(\vec f_{/ \vec P}) est une rotation d'angle 
      \(\theta) distinct de \(0) et \(\pi).</td>
    <td bgcolor="#66FF99"><p>\(\vec f_{/ \vec P})\(=-{\rm Id_{\vec P}})</p>
      <p>&nbsp;</p></td>
  </tr>
  <tr> 
    <td width="20%" bgcolor="#66FFCC">\(\vec f=\rho(\vec D,\vec e, \theta)),
      \link{rotation}{rotation  vectorielle} d'axe \(\vec D) orient&eacute; par
      \(\vec e) et d'angle \(\theta) distinct de \(0) et \(\pi). </td>
    <td bgcolor="#66FF99">\(\vec f) est le \link{symvect}{demi-tour} d'axe \(\vec
      D) ou sym&eacute;trie
       par rapport &agrave; \(\vec D)</td>
    <td bordercolor="#000000" bgcolor="#FFCC66">\(\vec f) est la \link{symvect}{r&eacute;flexion
      vectorielle} par rapport &agrave; \(\vec P) </td>
    <td width="10%" bgcolor="#FF9999">\(\vec f=-{\rm Id_{\vec E}})</td>
    <td width="20%" bgcolor="#FF99FF">\(\vec f=\varphi(\vec D,\vec e, \theta)),
       l'\link{antirotation}{antirotation vectorielle} d'axe \(\vec D) orient&eacute; par
       \(\vec e) et d'angle \(\theta) distinct de \(0) et \(\pi)</td>
  </tr>
  <tr> 
    <td width="10%" rowspan="2">\(f) a au moins un point fixe</td>
    <td colspan="2" bgcolor="#66FFFF">Les points fixes de \(f) forment une droite
       \(D) de direction \(\vec D). Les plans perpendiculaires &agrave;\(D) sont stables
      par \(f). </td>
    <td width="10%" rowspan="2" bgcolor="#66FF33">Tous les points sont fixes. 
      <br>
      \(f) est l'identit&eacute;.</td>
    <td bordercolor="#000000" bgcolor="#FFCC66">\(f) a un plan \(P) de points 
      fixes de direction\(\vec P).</td>
    <td colspan="2" bgcolor="#FFCCCC">\(f) a un unique point fixe \(c).</td>
  </tr>
  <tr> 
    <td bgcolor="#66FFCC">\(f) est la \link{rotationaffine}{rotation affine}
      d'axe \( D) orient&eacute; 
      par \(\vec e) et d'angle \(\theta) distinct de \(0) et de \(\pi).</td>
    <td bgcolor="#66FF99">\(f) est le demi-tour (ou la sym&eacute;trie) d'axe 
      \( D).</td>
    <td bordercolor="#000000" bgcolor="#FFCC66">\( f) est la r&eacute;flexion 
      par rapport &agrave; \(P) </td>
    <td bgcolor="#FF9999">\(f) est la sym&eacute;trie centrale de centre \(c).</td>
    <td bgcolor="#FF99FF">\( f) est l'\link{antirotationaffine}{antirotation
      affine} de centre \(c), d'axe \(c+\vec D) orient&eacute; par \(\vec e)
      et d'angle \(\theta) distinct de \(0) et \(\pi)<br>
      <br>
      \(f=s_P \circ \rho( D,\vec e, \theta)) o&ugrave; \(P) est le plan passant 
    par \(c) orthogonal &agrave; \(D)</td>
  </tr>
  <tr> 
    <td width="10%">\(f) n'a aucun point fixe</td>
    <td colspan="2" bgcolor="#66FFFF"><p>\(f) est un \link{vissage}{vissage}. </p>
      <p>Sa d&eacute;composition canonique est :<br>
        \(f=\rho( D,\vec e, \theta) \circ t_{\vec u})\( =t_{\vec u} \circ \rho( 
        D,\vec e, \theta)) o&ugrave; \(\vec u) est un vecteur non nul de \(\vec 
        D).</p></td>
    <td width="10%" bgcolor="#66FF33">\(f) est une translation de vecteur non 
      nul.</td>
    <td bordercolor="#000000" bgcolor="#FFCC66"><p>\(f) est une \link{antideplacement}{r&eacute;flexion
         gliss&eacute;e}.</p>
      <p>\(f=t_{\vec u} \circ s_P) o&ugrave; \(\vec u) est un vecteur non nul 
        de \(\vec P).</p></td>
    <td colspan="2">&nbsp;&nbsp;\fold{}{Cette case est vide.}{<p class="p3">Comme \(\vec f) n'admet pas 
      la valeur propre 1, \(f) a un unique point fixe.</p>}</td>
  </tr>
</table>