<div class="wims_chemin">\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}\link{main}{Optimisation linaire} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS4}{IV  Mthode du simplexe} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS4S4}{IV-4  Notion de base ralisable} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> IV-4-1  Systme de base</div><table width=100%><tr><td valign=top><div class="left_toc"><p>
\link{mainS1}{I  Programmation linaire}

\link{mainS2}{II  Mthode graphique}

\link{mainS3}{III  Mthode des sommets}

<div class="left_selection">\link{mainS4}{IV  Mthode du simplexe}</div>

\link{mainS5}{V  Algorithme du simplexe standard}

\link{mainS6}{VI  Dualit en programmation linaire}


\link{index}{Index}</div></td><td valign=top align=left width=100%><div class="wimsdoc">


Notons par \( M_i \) la \( i\ieme \) colonne de \( M \). Le vecteur
colonne \( My \) s'crit alors
<p class="math">\( My = \sum_{i = 1}^n y_i M_i\)</p>
o \( y_i \) est \( i\ieme \) composante de \( y \).
On appelle <font color = "orange">systme de variables de base</font>  <a name="variable!de base"> 
tout ensemble de \( m \)
variables distinctes \( y_i \), \( i\in J \), prises parmi \( y_1,\ldots , y_n \), telles que
le dterminant des vecteurs \( M_i \), \( i\in J \) est diffrent de
zro. On rappelle que l'entier \( m \) dsigne le nombre de
contraintes d'galits qui apparaissent dans (FS). La matrice
carre forme par les \( m \) colonnes \( M_i \), \( i\in J \), s'appelle
<font color = "orange">base</font>  <a name="base"> et les variables \( y_i \), \( i \not\in J \), s'appellent 
<font color = "orange">variables hors base</font>  .<a name="variable!hors bases">
Autrement dit, 

<font color= "magenta">une base \( B \) du problme (FS) n'est autre qu'une sous matrice carre 
de \( M \) d'ordre \( m \) et
inversible.</font>  

Pour mieux visualiser une telle base \( B \), on effectue des
permutations de colonnes de sorte que la base \( B \) apparaisse sur les
\( m \) premires colonnes de \( M \). Ainsi, on met \( M \) sous la forme
suivante :
<p class="math">\( M = [B\; \; N], \)</p>
o \( B = (M_i, i \in J) \in GL_m(\mathbb R) \) et \( N = (M_i, i\not\in J) \in M_{m,n-m} \).

Les variables \( y_i \), \( i=1,\ldots , n \), peuvent aussi tre classes
selon \( B \) et \( N \) :
<p class="math">\( y=(\; _{y_N}^{y_B}) ,\mbox{ o }y_B=(y_i, i\in J)\mbox{ et
}y_N=(y_i, i\not\in J). \)</p>
Dsormais, l'ensemble \( J \) des indices de base sera not par
\( J_B \) et son complmentaire par \( J_N \).
En respectant cette partition, le systme \( My=b \) vrifie :
<p class="math">\( My = b \Leftrightarrow [B\; N] \left ( \begin{matrix} y_B\\
\end{matrix} \right ) \Leftrightarrow By_B + Ny_N = b \)</p>
<p class="math">\(
\Leftrightarrow y_B=B^{-1}b
-B^{-1}Ny_N. \)</p>
Par suite, l'ensemble des solutions dans \( \mathbb R^n \) du systme
linaire \( My = b \) est gal 
<div class="math"><a name="BNyN">\(   
\{y\in \mathbb R^n\; \slash \; My=b\}=\left ( \begin{matrix} 
B^{-1}b -B^{-1}Ny_N\\
y_N
\end{matrix} \right )\; \slash \; y_N \in \mathbb R^{n-m} \}.
 \)</div>
Parmi les solutions de ce systme, nous distinguons les solutions
dites <font color = "orange">de base</font>   pour lesquelles \( y_N = 0_N \) (on crit
\( 0_N \)  la place de \( 0_{R^{n-m}} \) pour dire que les variables hors
base sont nulles). Une telle solution existe et elle vaut 
<div class="math">\(y = \left ( \begin{matrix} B^{-1}b
\\
0_N\end{matrix} \right )\)</div> 
Cette solution de base est ralisable <a name="solution de base!ralisable">
(<i> i.e.</i>   elle vrifie les contraintes \( My = b \) et \( y\geq 0_{\mathbb R^n} \)) si et
seulement si <div class="math">\(B^{-1}b\geq 0_{B} .\)</div>
Dans ce cas, on dit que la <font color = "orange">base
\( B \) est ralisable</font>  .<a name="base!ralisable">

Noter que toute solution de base
ralisable admet \( (n - m) \) composantes nulles relatives aux
variables hors base et que les autres composantes vrifient un
systme de Cramer d'ordre \( m \).</div></td><td valign=top align=right> <div class="right_toc">
<div class="right_selection">\link{mainS4S4S1}{IV-4-1  Systme de base}</div>

\link{mainS4S4S2}{IV-4-2  Optimalit et base ralisable}

\link{mainS4S4S3}{IV-4-3  Base dgnre}
</div><center>\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}</center></td></tr></table>