<div class="wims_chemin">\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}\link{main}{Optimisation linaire} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS5}{V  Algorithme du simplexe standard} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> \link{mainS5S4}{V-4  Formules itratives} <img src="gifs/arrows/right3.32.gif" alt=" ---> " width="25" height="15" border=0 valign="bottom"> V-4-1  Matrice du pivot</div><table width=100%><tr><td valign=top><div class="left_toc"><p>
\link{mainS1}{I  Programmation linaire}

\link{mainS2}{II  Mthode graphique}

\link{mainS3}{III  Mthode des sommets}

\link{mainS4}{IV  Mthode du simplexe}

<div class="left_selection">\link{mainS5}{V  Algorithme du simplexe standard}</div>

\link{mainS6}{VI  Dualit en programmation linaire}


\link{index}{Index}</div></td><td valign=top align=left width=100%><div class="wimsdoc">


Posons \( \beta = B^{-1}N \) la matrice relle rectangulaire
\( (m,p) \) avec \( p = n-m \). Aussi, on pose \( B = (B_1,\ldots,B_m) \) et
\( N = (N_1,\ldots,N_p) \) o \( B_i \) (<i>resp.</i>   \( N_i \)) dsigne la
\( i\ieme \) colonne de \( B \) (<i>resp.</i>   \( N \)). Supposons qu'
l'itration relative  la base \( B \), on ait permut le vecteur
colonne \( B_r \) avec \( N_s \). Au niveau du tableau, cela revient 
crire en gras l'lment \( (r,s) \) de la matrice \( \beta \), que l'on
note communment \( \beta_{rs} \). Par consquent, au cours de la
prochaine itration, on aura
<div class="math">\(B' = (B_1,\ldots,B_{r-1},N_s,B_{r+1},\ldots,B_m)\)</div>
comme base ralisable et
<div class="math">\(N' = (N_1,\ldots,N_{s-1},B_r,N_{s+1},\ldots,N_p).\)</div>

<h2 class="thm">Thorme</h2><div class="thm"> <a name="th5">
Les relations qui lient \( \beta' = {B'}^{-1}N' \) avec \( \beta = B^{-1}N \)
sont donnes par :
<p class="math">\( \beta'_{is} = \left\{ \begin{matrix} 
\frac{1}{\beta_{rs}} & \mbox{si }i = r\\
-\frac{\beta_{is}}{\beta_{rs}} & \mbox{si }i\neq r \end{matrix}  \right.
\)</p>
et
<p class="math">\(\left\{ \begin{matrix} 
\beta'_{rj} = \frac{\beta_{rj}}{\beta_{rs}} & \mbox{si }j\neq s\\
\beta'_{ij} = \beta_{ij}- \frac{\beta_{is}\beta_{rj}}{\beta_{rs}} & 
\mbox{si }j\neq s \mbox{ et }i\neq r. \end{matrix}  \right. \)</p>
</div>







\noindent Afin de mieux visualiser les formules tablies dans le
 \link{mainS5S4S1}{Thorme}{th5}, nous allons illustrer tout d'abord les 
lments du tableau simplexe dans le schma suivant. Le rel 
{\boldmath \( \beta_{rs} \)} correspond  l'lment crit en gras
au niveau de la matrice \( \beta = B^{-1}N \).







<table align = center border = 1><tr><td align = left>
\( \diamond \cdots \triangleleft)</td> 
<td rowspan=5 align=center>\( (B^{-1}b)_r)</td></tr>
<tr><td align=left>\(\vdots \; \ddots \; \vdots) </td> </tr>
<tr><td align=center>\( \circ \cdots \beta_{rs} \cdots \circ) </td> </tr>
<tr><td align=right>\(\vdots \; \ddots \; \vdots) </td> </tr>
<tr><td align=right>\(\triangleleft \cdots \diamond)</td> </tr>
<tr><td align=center> \(w_s)</td> <td align=center> \(Z)</td></tr>
</table>





Ensuite, le tableau simplexe qui suit sera rempli moyennant des
transformations qui peuvent tre rsumes en ces termes :
<ul><li>  au niveau de {\boldmath \( \beta_{rs} \)}, on aura
\( \frac{1}{\beta_{rs}} \).
 </li><li>  Tout lment \( \triangleleft \) de la colonne relative  
{\boldmath \( \beta_{rs} \)} devient \( -\frac{\triangleleft}{\beta_{rs}} \).
 </li><li>  Tout lment \( \circ \) de la ligne relative  
{\boldmath \( \beta_{rs} \)} devient \( \frac{ \circ}{\beta_{rs}} \).
 </li><li>  Tout lment \( \diamond \) en dehors de la ligne et de la 
colonne relative  {\boldmath \( \beta_{rs} \)} sera transform en 
\( \diamond-\frac{ \circ \cdot \triangleleft}{\beta_{rs}} \). Dans cette
dernire expression, on tient  prciser que \( \circ \) (<i>
resp.</i>   \( \triangleleft \)) est
l'lment de la matrice \( \beta = B^{-1}N \) qui appartient  la
mme colonne (<i>resp.</i>   ligne) que \( \diamond \) et la mme ligne 
(<i>resp.</i>   colonne) que  {\boldmath \( \beta_{rs} \)}.
 </li></ul>
Les relations donnes dans le  \link{mainS5S4S1}{Thorme}{th5} sont identiques
aux formules de Gauss-Jordan pour l'inversion d'une
matrice. Pour cette raison, l'lment \( \beta_{rs} \)
s'appelle <font color = "orange">pivot</font>  , faisant allusion au pivot de Gauss. A chaque
itration du simplexe, le pivot est donc l'intersection de la
variable sortante avec la variable entrante. Noter
galement que toute ligne, en dehors de la ligne du pivot, qui
possde un zro sur la colonne du pivot reste inchange ; idem
pour les colonnes possdant un zro sur la ligne du pivot.</div></td><td valign=top align=right> <div class="right_toc">
<div class="right_selection">\link{mainS5S4S1}{V-4-1  Matrice du pivot}</div>

\link{mainS5S4S2}{V-4-2  Vecteur des cots rduits}
</div><center>\reload{<img src="gifs/doc/etoile.gif" alt="rechargez" width="20" height="20" border=0>}</center></td></tr></table>